Question

已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）記f（x）=

m

•

n

求使得f（x）取得最大值時(shí)，x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

m

•

n

=1，利用數(shù)量積運(yùn)算可得

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=1，利用倍角公式及其兩角和差的正弦公式可得sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．再利用倍角公式與誘導(dǎo)公式可得cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1即可得出．
（2）利用（1）及正弦函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=1，
∴

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=1，化為

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=

1

2

，
∴sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．
∴cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=2×(

1

2

)2-1=-

1

2

．
（2）由（1）可得f（x）=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
當(dāng)

x

2

+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值為1+

1

2

=

3

2

．
此時(shí)x=

2π

3

+4kπ（k∈Z），
∴當(dāng)f（x）取得最大值

3

2

時(shí)，x的取值集合為{x|x=

2π

3

+2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式及其兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．