【題目】設函數(shù)f(x)的定義域為R,如果存在函數(shù)g(x),使得f(x)≥g(x)對于一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-1,0).
(1)若a=1,b=2.寫出函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù)(結論不要求證明);
(2)判斷是否存在常數(shù)a,b,c,使得y=x為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),且f(x)為函數(shù)的一個承托函數(shù)?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)g(x)=x (2)存在,a=c=,b=.
【解析】
(1)由題意可得c=1,進而得到f(x),可取g(x)=x;
(2)假設存在常數(shù)a,b,c滿足題意,令x=1,可得a+b+c=1,再由二次不等式恒成立問題解法,運用判別式小于等于0,化簡整理,即可判斷存在.
(1)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-1,0),
可得a-b+c=0,又a=1,b=2,
則f(x)=x2+2x+1,
由新定義可得g(x)=x為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù);
(2)假設存在常數(shù)a,b,c,使得y=x為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),
且f(x)為函數(shù)的一個承托函數(shù).
即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立,
令x=1可得1≤a+b+c≤1,即為a+b+c=1,
即1-b=a+c,
又ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,可得a>0,且(b-1)2-4ac≤0,
即為(a+c)2-4ac≤0,即有a=c;
又(a-)x2+bx+c-≤0恒成立,
可得a<,且b2-4(a-)(c-)≤0,
即有(1-2a)2-4(a-)2≤0恒成立.
故存在常數(shù)a,b,c,且0<a=c<,b=1-2a,
可取a=c=,b=.滿足題意.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.在極坐標系中有射線和曲線.
(1)判斷射線和曲線公共點的個數(shù);
(2)若射線與曲線 交于兩點,且滿足,求實數(shù)的值.
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【題目】2018年元旦假期,高三的8名同學準備拼車去旅游,其中班、班,班、班每班各兩名,分乘甲乙兩輛汽車,每車限坐4名同學乘同一輛車的4名同學不考慮位置,其中班兩位同學是孿生姐妹,需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自同一個班的乘坐方式共有
A. 18種 B. 24種 C. 48種 D. 36種
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【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分:方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品.
(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為,求的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的均值較大?
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【題目】某協(xié)會對,兩家服務機構進行滿意度調查,在,兩家服務機構提供過服務的市民中隨機抽取了人,每人分別對這兩家服務機構進行獨立評分,滿分均為分.整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以為組距分成組:,,,,,,得到服務機構分數(shù)的頻數(shù)分布表,服務機構分數(shù)的頻率分布直方圖:
定義市民對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”如下:
分數(shù) | |||
滿意度指數(shù) | 0 | 1 | 2 |
(1)在抽樣的人中,求對服務機構評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù);
(2)從在,兩家服務機構都提供過服務的市民中隨機抽取人進行調查,試估計對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”比對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(3)如果從,服務機構中選擇一家服務機構,以滿意度出發(fā),你會選擇哪一家?說明理由.
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【題目】如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點,則AD與GF所成的角的余弦值為( )
(A) (B)- (C) (D)-
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【題目】已知橢圓的一個焦點與上、下頂點構成直角三角形,以橢圓的長軸長為直徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設過橢圓右焦點且不平行于軸的動直線與橢圓相交于兩點,探究在軸上是否存在定點,使得為定值?若存在,試求出定值和點的坐標;若不存在,請說明理由.
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