Question

16．已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-8x（x-2），1≤x＜2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），x≥2}\end{array}\right.$給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為（0，8]；
②對任意的n∈N，都有f（2ⁿ）=2^3-n；
③存在k∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$），使得直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象有5個公共點；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）”
其中正確命題的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)分段函數(shù)的表達式結(jié)合函數(shù)的最值進行求解判斷，
②利用f（2ⁿ）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（1）進行求解判斷，
③作出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，
④根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．

解答 解：①當1≤x＜2時，f（x）=-8x（x-2）=-8（x-1）²+8∈（0，8]，
②∵f（1）=8，
∴f（2ⁿ）=$\frac{1}{2}$f（2^n-1）=$\frac{1}{{2}^{2}}$f（2^n-2）=$\frac{1}{{2}^{3}}$f（2^n-3）=…=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（2⁰）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（1）=$\frac{1}{{2}^{n}}$×8=2^3-n，故②正確，
③當x≥2時，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）∈0，4]，故函數(shù)f（x）的值域為（0，8]；故①正確，
當2≤x＜4時，1≤$\frac{x}{2}$＜2，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$[-8（$\frac{x}{2}$-1）²+8]=-4（$\frac{x}{2}$-1）²+4，
當4≤x＜8時，2≤$\frac{x}{2}$＜4，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$[-4（$\frac{x}{4}$-1）²+4]=-2（$\frac{x}{4}$-1）²+2
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
作出y=$\frac{1}{4}$x和y=$\frac{1}{8}$x的圖象如圖，

當k∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$），使得直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個公共點；故③錯誤，
④由分段函數(shù)的表達式得當x∈（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）時，函數(shù)f（x）在（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2ⁿ，2ⁿ⁺¹）”為真命題．，故④正確，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)遞推關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．