Question

2．設f（x）=1og_a（3+x）-log_a（3-x），其中0＜a＜1．
（1）求函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性；
（2）討論函數(shù)單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的真數(shù)大于零列出不等式組，求出函數(shù)的定義域，由函數(shù)奇偶性的定義判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）先化簡函數(shù)的解析式，設g（x）=$\frac{3+x}{3-x}$，設-3＜x₁＜x₂＜3，利用作差法比較g（x₁）和g（x₂）大小，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x₁）和f（x₂）大小，由函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明結論．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜3，
所以函數(shù)的定義域是（-3，3），
因為f（-x）=1og_a（3-x）-log_a（3+x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（-3，3）上單調(diào)遞減，證明如下：
f（x）=1og_a（3+x）-log_a（3-x）=${log}_{a}^{\frac{3+x}{3-x}}$，
設g（x）=$\frac{3+x}{3-x}$，設-3＜x₁＜x₂＜3，
則g（x₁）-g（x₂）=$\frac{3+{x}_{1}}{3-{x}_{1}}$-$\frac{3+{x}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）-（3+{x}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{6{x}_{1}-6{x}_{2}}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=$\frac{6（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
因為-3＜x₁＜x₂＜3，
所以3-x₁＞0，3-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
因為0＜a＜1，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-3，3）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義證明等綜合問題，考查化簡、變形能力，構造法、作差法，屬于中檔題．