【題目】如圖,已知, ,且是的中點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)求證:平面平面;
(3)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)。
【解析】
(1)取的中點(diǎn),可以利用中位線定理,根據(jù)已知的平行關(guān)系和長度關(guān)系,可以得到一個平行四邊形,利用平行四邊形的對邊平行,這樣得到線線平行,也就能證明出線面平行;
(2)通過已知和(1)可知,通過線面垂直和平行線的性質(zhì),可以這樣可以證明出線面垂直,而從而證明出平面利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;
(3)通過(2)證明出的線面垂直關(guān)系,找到線面角,利用勾股定理、平行四邊形的性質(zhì),求出相關(guān)的邊,利用正弦的定義,求出與平面所成角的正弦值。
(1)如上圖,取的中點(diǎn),連接,
由是的中點(diǎn),且又,且
且. 是平行四邊形,從而,
又平面,平面, 因此;
(2)證明:是的中點(diǎn),,
因?yàn)?/span>平面,,所以平面,
又平面 而 平面
由可知平面 平面,平面平面;
(3)由(2)知平面 是在平面的射影,則與平面所成的角為,因?yàn)?/span>,所以,由(1)可知:
是平行四邊形,從而,
在中,
與平面所成角的正弦值是。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象相切,求的值;
(3)若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn),,且,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,邊,,所在直線的方程分別為,,.
(1)求邊上的高所在的直線方程;
(2)若圓過直線上一點(diǎn)及點(diǎn),當(dāng)圓面積最小時,求其標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量,,其中,則下列判斷錯誤的是( )
A.向量與軸正方向的夾角為定值(與、之值無關(guān))
B.的最大值為
C.與夾角的最大值為
D.的最大值為l
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、外語,為必考科目;“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?
說明你的理由;
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)題的答案:記集合.例如:,若將集合的各個元素之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為____________;
定義現(xiàn)指定,將集合的元素從小到大排列組成數(shù)列,若將的各項(xiàng)之和設(shè)為該軟件的激活碼,則該激活碼應(yīng)為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
某學(xué)校高一數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)生每周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分,不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們從本校初二,初三,高一,高二,高三年級各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄并整理了這些學(xué)生周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù),得到如下數(shù)據(jù)表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均體育鍛煉小時數(shù)工(單位:小時) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
體育成績優(yōu)秀人數(shù)y(單位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)若選取的是初三,高一,高二的3組數(shù)據(jù),請根據(jù)這3組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選取的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過1,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,.
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