Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$．
（1）S_n為{a_n}的前n項和，證明：s_n=$\frac{{3-{a_n}}}{2}$
（2）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列b_n的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過${a_2}=\frac{1}{3}$、q=$\frac{1}{3}$可知首項，進而可得通項、前n項和的表達式，整理即得結(jié)論；
（2）通過a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$、對數(shù)的性質(zhì)可知log₃a_n=-n+1，進而計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵${a_2}=\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，S_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴S_n=$\frac{{3-{a_n}}}{2}$；
（2）解：∵a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴l(xiāng)og₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=-n+1，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）+n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+n
=-$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．