Question

5．某學(xué)校為調(diào)查高三年學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））．已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數(shù)有16人．

（Ⅰ）試問在抽取的學(xué)生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分幾）的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”？

	≥170cm	＜170cm	總計(jì)
男生身高
女生身高
總計(jì)

（Ⅲ）在上述80名學(xué)生中，從身高在170～175cm之間的學(xué)生中按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當(dāng)旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直方圖中身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，可得男生數(shù)為40．由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為80-40=40；
（Ⅱ）求出男生身高≥170cm的人數(shù)，女生身高≥170cm的人數(shù)，得到2×2列聯(lián)表，求出k²，則答案可求；
（Ⅲ）求出在170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人．再由分層抽樣的方法抽出5人，得到男生占4人，女生占1人．然后利用枚舉法得到選派3人的方法種數(shù)，求出3人中恰好有一名女生的種數(shù)，利用古典概率模型計(jì)算公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）直方圖中，
∵身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，
設(shè)男生數(shù)為n₁，則$0.4=\frac{16}{n_1}$，得n₁=40．
由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為80-40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數(shù)=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人數(shù)0.02×5×40=4，所以可得到下列列聯(lián)表：

	≥170cm	＜170cm	總計(jì)
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
總計(jì)	34	46	80

${K^2}=\frac{{80×{{（30×36-10×4）}^2}}}{40×40×34×46}≈34.58＞10.828$，
∴能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)；
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人．
按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人．
設(shè)男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B．
從5人任選3名有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），
（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10種可能，
3人中恰好有一名女生有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6種可能，
故所求概率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查頻率分布直方圖、2×2列聯(lián)表和概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想、分類與整合思想等，是中檔題．