Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-cosωx），向量$\overrightarrow$=（sinωx，$\sqrt{3}$），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小正周期為π．求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，列出函數(shù)解析式，再利用和差角公式化簡(jiǎn)，最后函數(shù)的周期性得到ω的值；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（3，-cosωx），$\overrightarrow$=（sinωx，$\sqrt{3}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）=2$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小正周期為π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈z，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈z．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．