Question

8．設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意的非零實數(shù)m，均有f（$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{f（m）}$成立，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-ax+2，若函數(shù)f（x）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，再由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，可得要使f（x）=x²-ax+2的值域為R，只要當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-ax+2的最小值小于等于1即可，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求得答案．

解答 解：∵f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
對任意的非零實數(shù)m，均有f（$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{f（m）}$成立，且當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-ax+2，
∴要使f（x）=x²-ax+2的值域為R，只要當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-ax+2的最小值小于等于1即可．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{f（1）≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞1}\\{\frac{4×2-{a}^{2}}{4}≤1}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3-a≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{{a}^{2}≥4}\end{array}\right.$，解得a≥2．
∴實數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．
故答案為：[2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．