Question

19．已知方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$；判斷方程組解的情況．

Answer 1

分析 將第二式代入第一式消元得出關(guān)于x的方程，根據(jù)方程類型和一元二次方程的性質(zhì)進(jìn)行討論判斷．

解答 解：把y=k（x-1）代入x²-y²=4得（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
（1）當(dāng)k²=1即k=±1時(shí)，方程為2x-5=0，方程有一解，
（2）當(dāng)1-k²≠0即k≠±1時(shí)，△=4k⁴+4（1-k²）（k²+4）=16-12k²，
①若△=16-12k²=0，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程有一解，
②若△=16-12k²＞0，即-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程有兩解，
③若△=16-12k²＜0，即k＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程無(wú)解．
綜上，當(dāng)k=±1或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程組有一組解；
當(dāng)-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程組有兩組解；
當(dāng)k＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，方程組無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的個(gè)數(shù)判斷，分類討論思想，屬于中檔題．