Question

已知曲線C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

，直線l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12．
（1）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求到直線l的距離最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得；
（2）設(shè)與直線x-

3

y-12=0平行的直線為x-

3

y+c=0，當(dāng)直線x-

3

y+c=0與橢圓x²+9y²=27相切時(shí)，切點(diǎn)滿足到直線的距離最�。�

解答： 解：（1）直線l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12的直角坐標(biāo)方程為x-

3

y-12=0，
曲線C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

可化為直角坐標(biāo)方程為x²+9y²=27；
（2）設(shè)與直線x-

3

y-12=0平行的直線為x-

3

y+c=0，當(dāng)直線x-

3

y+c=0與橢圓x²+9y²=27相切時(shí)，切點(diǎn)滿足到直線的距離最小，聯(lián)立直線曲線構(gòu)成方程組，消元可得（

3

y-c）²+9y²=27，
∴12y²-2

3

cy+c²-27=0
由△=0可求得c=±6，
由題意，直線x-

3

y-6=0與直線l的最小距離為3，此時(shí)y=-

3

2

，x=

9

2

，
∴到直線l的距離最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．