Question

如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把ABCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC′；
（2）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′-ABD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得BC′⊥平面AC′D，AD⊥BC′，從而AD⊥平面ABC′，由此能證明平面ACD⊥平面ABC′．
（2）由VC′-ABD=VB-AC′D，利用等積法能求出棱錐C′-ABD的體積．

解答： （1）證明：∵BC′⊥C′D，BC′⊥AC′，且C′D∩AC′=C′，
∴BC′⊥平面AC′D
∵AD?平面AC′D，∴AD⊥BC′，
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，
又AB∩BC′=B，∴AD⊥平面ABC′，
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC′．
（2）解：∵AB=2，BC=1，
∴BC'=BC=1，DC=AC'=

3

，
∴AD²+AC^'2=DC^'2，AC'⊥C'D
∴sin∠ADC′=

3

2

，
S△ADC′=

2×1×sin∠ADC′

2

=

3

2

，
∴三棱錐C′-ABD的體積：
VC′-ABD=VB-AC′D=

1

3

×S△ADC′×BC′=

3

6

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．