已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標為(-
4
7
，
3
7
)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）求弦AB的長．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意得到c，再由點差法得到a，b的關系，結合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）求出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，由弦長公式得答案．
解答： 解：（1）由題意知c=1，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x12
a2
+
y12
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1，
則
(x1+x2)(x1-x2)
a2
=-
(y1+y2)(y1-y2)
b2
，
即
y1-y2
x1-x2
=-
b2(x1+x2)
a2(y1+y2)
，
∵直線過F（-1，0），AB中點(-
4
7
，
3
7
)，
∴
3
7
-
4
7
+1
=-
b2•(-
8
7
)
a2•
6
7
，即3a2=4b2，
又a2=b2+c2，
∴a2=4，b2=3．
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由（1）知AB的斜率為1，且過F（-1，0），
∴直線AB的方程為y=x+1，
聯(lián)立
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
，得7x2-8x-8=0．
∴x1+x2=
8
7
，x1x2=-
8
7
．
∴|AB|=
1+1
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
(
8
7
)2+4×
8
7
=
24
7
．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，訓練了點差法，涉及直線和圓錐曲線的關系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關系解題，是壓軸題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若將函數(shù)y=sin（ωx+
π
3
）（ω＞0）的圖象向左平移
π
4
個單位，與函數(shù)y=sin（ωx+
π
4
）的圖象重合，則ω的最小值為（　　）
A、
1
12
B、
1
3
C、2
D、
23
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為
 
．

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已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4、S10、S7成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證而a3，a9，a6成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a1=1，求數(shù)列{a3n}的前n項的積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-x-12＞0}，B={x|（x+a）（x-2a）≤0}，其中a＞0．
（1）求集合A；
（2）若A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=log 
1
2
sin（2x+
π
4
）的單調(diào)減區(qū)間為（　�。�
A、（kπ-
π
4
，kπ]（k∈Z）
B、（kπ-
π
8
]（k∈Z）
C、（kπ-
π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）
D、（kπ+
π
8
，kπ+
3π
8
]（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若曲線y2=xy+2x+k過點（a，-a）（a∈R），則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若sinα+cosα=
6
2
（0＜α＜
π
4
），則α為（　�。�
A、
5π
12
B、
π
12
C、
5π
6
D、
π
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線x+2y=0與2x+4y-5=0的距離為（　�。�
A、
5
B、
5
2
C、2
5
D、0

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