Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₄、S₁₀、S₇成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證而a₃，a₉，a₆成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁=1，求數(shù)列{a³_n}的前n項(xiàng)的積．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合S₄、S₁₀、S₇成等差數(shù)列得到等比數(shù)列的公比的關(guān)系，兩邊同時(shí)乘以a₁得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等比數(shù)列的公比，然后直接由{a³_n}的前n項(xiàng)的積結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)q=1時(shí)，2S₁₀≠S₄+S₇，
∴q≠1，
由2S₁₀=S₄+S₇，得

2a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

．
∵a₁≠0，q≠1，
∴2q¹⁰=q⁴+q⁷，
則2a1q8=a1q2+a1q5，
∴2a₉=a₃+a₆，
∴a₃，a₉，a₆成等差數(shù)列；
（Ⅱ）依題意設(shè)數(shù)列{an3}的前n項(xiàng)的積為T_n，
Tn=a13•a23…an3
=1³•q³•（q²）³…（q^n-1）³
=（q³）^{1+2+…+（n-1）}=(q3)

n(n-1)

2

，
又由（Ⅰ）得2q¹⁰=q⁴+q⁷，
∴2q⁶-q³-1=0，解得q³=1（舍），q3=-

1

2

．
∴Tn=(-

1

2

)

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．