Question

已知焦距為2

6

的橢圓中心在原點O，短軸的一個端點為（0，

2

），點M為直線y=

1

2

x與該橢圓在第一象限內的交點，平行OM的直線l交橢圓與A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．由題意可得

2c=2 6 b= 2

，及a²=b²+c²，解得即可；
（II）聯(lián)立

y= 1 2 x x2 8 + y2 2 =1 x＞0

，解得M（2，1）．設直線l的方程為y=

1

2

x+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用向斜率計算公式
k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

，計算分子=0即可．

解答： （I）解：設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
由題意可得

2c=2 6 b= 2

，及a²=b²+c²，解得b=

2

，a=2

2

．
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（II）證明：聯(lián)立

y= 1 2 x x2 8 + y2 2 =1 x＞0

，解得

x=2 y=1

，即M（2，1）．
設直線l的方程為y=

1

2

x+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y= 1 2 x+m x2+4y2=8

，化為x²+2mx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4．
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

，
其分子=(

1

2

x1+m-1)(x2-1)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）
=0，
即k₁+k₂=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．