Question

3．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ-cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（θ為常數(shù)）．
（1）求曲線C₁的普通方程及C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C₂與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P為曲線C₁上的動點(diǎn)求△PAB面積的范圍．

Answer 1

分析 （1）將C₁參數(shù)方程的第一式平方和第二式相加消去參數(shù)即可得出普通方程，將C₂的極坐標(biāo)方程展開，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；
（2）求出|AB|，求出P到直線C₂的最短距離即可得出三角形面積的最小值．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ-cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1-2sinθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁的普通方程為x²+y=1．即y=-x²+1．
∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．
（2）A（2，0），B（0，2）．∴|AB|=2$\sqrt{2}$．
設(shè)曲線C₁：y=-x²+1的斜率對于-1的切線方程為y=-x+b，
切點(diǎn)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}+b}\\{{y}_{0}=-{{x}_{0}}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴P到直線C₂的最小距離d=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
∴△PAB的最小面積為S_min=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{3}{4}$．
∴△PAB面積的范圍是：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．