Question

設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+1）=-f（x），已知x∈（0，1）時(shí)，f（x）=log

1

2

（1-x），則函數(shù)f（x）在（1，2）上（　�。�

• A、是增函數(shù)，且f（x）＜0
• B、是增函數(shù)，且f（x）＞0
• C、是減函數(shù)，且f（x）＜0
• D、是減函數(shù)，且f（x）＞0

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+1）=-f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函數(shù)為周期函數(shù)，T=2，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推出函數(shù)f（x）=log

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2

（1-x）遞增，再由周期性與奇偶性把（1，2）上的單調(diào)性過度到（0，1）來研究．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-（-f（x））=f（x），
∴函數(shù)為周期函數(shù)，周期T=2，
∵u=1-x遞減，y=log

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2

u遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（x）=log

1

2

（1-x）遞增，
又x∈（0，1）時(shí)，0＜1-x＜1，∴log

1

2

（1-x）＞0，
∴?x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，
①?x∈（1，2），2-x∈（0，1），∴f（2-x）＞0，
又函數(shù)為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=f（-x+2）＞0，
②設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，則-1＞-x₁＞-x₂＞-2，則1＞2-x₁＞2-x₂＞0，
∵函數(shù)f（x）=log

1

2

（1-x）遞增，
∴f（2-x₁）＞f（2-x₂）
又f（2-x₁）=f（x₁）、f（2-x₂）=f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)
綜上，選D

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，是把函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性相結(jié)合的題目，屬于中檔題．