Question

2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足|MF₁|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$，其中F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）斜率存在且過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，軌跡E上存在一點(diǎn)P滿足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），推導(dǎo)出M的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，以2$\sqrt{2}$為長(zhǎng)軸的橢圓，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+2kx=0，由此求出A和B的坐標(biāo)，再設(shè)P（x，y），由軌跡E上存在一點(diǎn)P滿足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求出x，y，代入橢圓方程給求出直線l的斜率．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2$\sqrt{2}$＞2=|F1F2|，
則M的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，以2$\sqrt{2}$為長(zhǎng)軸的橢圓，
則a=$\sqrt{2}$，c=1，b2=a2-c2=1．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+2kx=0，
∴A（0，1），B（-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$），
設(shè)P（x，y），∵軌跡E上存在一點(diǎn)P滿足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴（$\sqrt{2}x，\sqrt{2}y$）=（$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}\\{y=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{（\sqrt{2}+\sqrt{2}{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=1，整理，得2k⁴-k²-1=0，
解得k=±1．
∴直線l的斜率為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程，橢圓定義\向量知識(shí)的合理運(yùn)用．