Question

12．已知橢圓的對稱軸為坐標軸，中心在原點，且過（3，0）點，其離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 利用橢圓的簡單性質(zhì)直接求解，需要注意的是要分焦點在x軸和焦點在y軸兩種情況分別求解．

解答 解：①焦點在x軸上時，
由題意知a=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得c=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=9-6=3．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
②焦點在y軸上時，
由題意可知b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且a²=b²+c²，
解得c²=18，a²=27．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{27}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，解題時要注意分類討論的合理運用，是基礎(chǔ)題．