Question

6．已知f（x）=kx+b為一次函數(shù)，且f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，f（8）=15．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=2^f（n）（n∈N*），求a₁a₂a₃…a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）求得f（2），f（5），f（4）的解析式，由f（8）=15，b=15-8k，根據(jù)等比中項(xiàng)，整理得a²-4a=0，求得a和b的值，代入f（x）的解析式；
（2）a_n=2^f（n）=2^4n-17，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法a₁a₂a₃…a_n=2^-132^-92^-5…2^4n-17，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得a₁a₂a₃…a_n的表達(dá)式．

解答 解：（1）f（2）=2k+b，f（5）=5k+b，f（4）=4k+b，
∵f（8）=8k+b，
∴b=15-8k，
f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，
∴（5k+b）²=（2k+b）（4k+b），
代入整理得：a²-4a=0，求得a=4或a=0（舍去），
∴b=-17，
故f（x）=4x-17，
（2）a_n=2^f（n）=2^4n-17，
a₁a₂a₃…a_n=2^-132^-92^-5…2^4n-17，
=${2}^{\frac{n（-13+4n-17）}{2}}$，
=2^n（2n-15），
a₁a₂a₃…a_n=2^n（2n-15）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列等比中項(xiàng)的意義，同底數(shù)冪的乘法，屬于中檔題．