【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,當x>0時,f(x)>1;且f(2)=3,
(1)求f(0)及f(1)的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并給予證明;
(3)若f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2對任意的x∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:令a=b=0,由題意可知:f(0)=f(0)+f(0)﹣1,即f(0)=1,

同理,令a=b=1,則有f(2)=f(1)+f(1)﹣1,又f(2)=3,所以f(1)=2


(2)解:在R上任取x1、x2,設(shè)x1>x2

則f(x1)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣1,所以f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1,

又當x>0時,f(x)>1且x1﹣x2>0,所以f(x1﹣x2)>1,

所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2

故函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)遞增


(3)解:因為f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2對任意的x∈R恒成立,

由題意可轉(zhuǎn)化為kx2﹣kx+2>0對任意的x∈R恒成立,

①當k=0時,得2>0,符合題意;

②當k≠0時,則 ,解得0<k<8

故符合題意的實數(shù)k的取值范圍為0≤k<8


【解析】(1)令a=b=0,由題意即可求解f(0),令a=b=1,即可求解f(1).(2)利用單調(diào)性的定義在R上任取x1、x2 , 設(shè)x1>x2 , 推出f(x1)>f(x2),得到函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)遞增;(3)通過f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2對任意的x∈R恒成立,轉(zhuǎn)化為kx2﹣kx+2>0對任意的x∈R恒成立,①當k=0時,②當k≠0時,分別求解即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為,過的左焦點的直線,直線被圓截得的弦長為.

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求此拋物線的方程;

過點做直線交拋物線兩點,求證:.

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(1)求橢圓的標準方程;

2)過橢圓的上頂點作直線交拋物線兩點, 為原點.

①求證: ;

②設(shè)分別與橢圓相交于、兩點,過原點作直線的垂線,垂足為,證明: 為定值.

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【題目】輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上,在輪船出發(fā)時,輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處,并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛,假設(shè)輪船沿直線方向以海里/小時的航速勻速行駛,經(jīng)過小時與輪船相遇.

(1)若使相遇時輪船航距最短,則輪船的航行速度大小應(yīng)為多少?

(2)假設(shè)輪船的最高航速只能達到30海里/小時,則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船相遇,并說明理由.

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(1)到第幾年末總利潤最大,最大值是多少?

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(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.

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(1)求直方圖中的值;

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)如果當?shù)卣M?/span>左右的居民每月的用電量不超出標準,根據(jù)樣本估計總體的思想,你認為月用電量標準應(yīng)該定為多少合理?

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