Question

【題目】定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f（x），已知當(dāng)x∈[﹣1，0]時的解析式f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，

又∵

∴ =1﹣a=0

解得a=1

即當(dāng)x∈[﹣1，0]時的解析式

當(dāng)x∈[0，1]時，﹣x∈[﹣1，0]

∴ =4x﹣2x=﹣f（x）

∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）

（2）解：由（1）得當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣4x

令t=2x（t∈[1，2]）

則2x﹣4x=t﹣t2，

令y=t﹣t2（t∈[1，2]）

則易得當(dāng)t=1時，y有最大值0

f（x）在[0，1]上的最大值為0

【解析】（1）由函數(shù)f（x）為定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則根據(jù)x∈[﹣1，0]時的解析式 ，構(gòu)造關(guān)于a的方程，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，我們用換元法可將函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的形式，我們分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出f（x）在[0，1]上的最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的奇函數(shù)是解答本題的根本，需要知道利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．