Question

【題目】給定數(shù)列，若滿足（且），對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．

（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列滿足，，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；

（3）若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）是，理由詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用指數(shù)數(shù)列的定義，判斷即可；

（2）利用a1，an＝2anan+1+3an+1（n∈N*），說明數(shù)列{1}是等比數(shù)列，然后證明數(shù)列{1}為“指數(shù)型數(shù)列”；

（3）利用反證法，結(jié)合n為偶數(shù)以及奇數(shù)進(jìn)行證明即可．

解：（1）數(shù)列，，所以數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”

（2）數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，

所以是等比數(shù)列，

，

所以數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”

（3）若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，由定義得：

假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)

則，得：

整理得：（*）

若a為偶數(shù)時(shí)，右邊為偶數(shù)，為奇數(shù)，則左邊為奇數(shù)，（*）不成立；

若a為奇數(shù)時(shí)，右邊為偶數(shù)，為奇數(shù)，則左邊為奇數(shù)，（*）不成立；

所以，對任意的，（*）式不成立．