Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點（2，$\sqrt{2}$）在C上．
（1）求C的標準方程；
（2）設(shè)直線l過點P（0，1），當l繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，與橢圓C有兩個交點A，B，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率，求出abc的關(guān)系，設(shè)出橢圓方程，利用點在橢圓上，求解可得橢圓的標準方程．
（2）利用直線的斜率是否存在設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程求出斜率，然后求出線段AB的中點M的軌跡方程．

解答 解：（1）因為橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以a：b：c=$\sqrt{2}：1：1$…（2分）
不妨設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=λ$，代入點$（2，\sqrt{2}）$，得到λ=4…．（5分）
所以橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$…（6分）
（2）設(shè)線段AB的中點M（x₀，y₀），
若直線l斜率不存在，即為x=0，易得線段AB中點為（0，0）…（7分）
若直線l斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+1，兩交點坐標A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
易得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1\end{array}\right.$減得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=k=-\frac{4{x}_{0}}{8{y}_{0}}$…（8分）
又因為$k=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}$…（9分）
化簡得${x_0}^2+2{y_0}^2-2{y_0}=0$，（0，0）代入滿足方程
所以線段AB的中點M的軌跡方程為x²+2y²-2y=0…（10分）

點評 本題考查橢圓的方程與直線方程的綜合應用，考查軌跡方程的求法，平方差法的應用，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．