Question

10．由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1．
（1）若橢圓C₂：$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出特征三角形是腰長為a 和底邊長為2c，從而得到橢圓的相似比．
（2）設(shè)出橢圓C_b的方程，直線l_MN的方程，根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，求出直線l_MN的方程，根據(jù)直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，判別式大于零，求得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）橢圓C₂與C₁相似．-------------------（2分）
因為橢圓C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為4$\sqrt{3}$的等腰三角形，而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為2$\sqrt{3}$的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1-------------------（4分）
（2）C_b：$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}$=1或$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}$=1
設(shè)l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
則x₀=$\frac{4t}{5}$，y₀=$\frac{t}{5}$------------------（9分）
因為中點在直線y=x+1上，所以有$\frac{t}{5}$=$\frac{4t}{5}$+1，t=-$\frac{5}{3}$-------------------（10分）
即直線l_MN的方程為：y=-x-$\frac{5}{3}$，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，
即方程5x²-8×（-$\frac{5}{3}$）x+4[（-$\frac{5}{3}$）²-b²]=0有兩個不同的實數(shù)解，
所以$△=\frac{1600}{9}$-4×5×4×[（-$\frac{5}{3}$）²-b²]＞0，即b＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，求直線MN的方程是解決的關(guān)鍵．