Question

11．如圖，過(guò)曲線C：y=x³（x≥0）上點(diǎn)A₁（2，8）作C的切線交x軸于點(diǎn)B₁，過(guò)點(diǎn)B₁作x軸的垂線交曲線C與點(diǎn)A₂，過(guò)點(diǎn)A₂作C的切線交x軸于點(diǎn)B₂，再過(guò)點(diǎn)B₂作x軸的垂線交曲線C與點(diǎn)A₃，過(guò)點(diǎn)A₃作C的切線交x軸于點(diǎn)B₃，…、以此類推，得到一系列點(diǎn)：A₁，B₁，A₂，B₂，A₃，B₃，…記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線的方程，求得與x軸的交點(diǎn)，可得B₁（$\frac{4}{3}$，0），A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），B₂（$\frac{8}{9}$，0），A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），B₃（$\frac{16}{27}$，0），即可得到a₁，a₂，a₃，…，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式求得線段的長(zhǎng)度，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）y=x³（x≥0）的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，
在點(diǎn)A₁（2，8）處的切線斜率為3×4=12，
即有點(diǎn)A₁（2，8）處的切線方程為y-8=12（x-2），
令y=0，可得x=$\frac{4}{3}$，即B₁（$\frac{4}{3}$，0），
由題意可得A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），
在點(diǎn)A₂處的切線斜率為3×$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{3}$，
即有點(diǎn)A₂處的切線方程為y-$\frac{64}{27}$=$\frac{16}{3}$（x-$\frac{4}{3}$），
令y=0，可得x=$\frac{8}{9}$，即B₂（$\frac{8}{9}$，0），
由題意可得A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），
在點(diǎn)A₃處的切線斜率為3×$\frac{64}{81}$=$\frac{64}{27}$，
即有點(diǎn)A₃處的切線方程為y-$\frac{512}{729}$=$\frac{64}{27}$（x-$\frac{8}{9}$），
令y=0，可得x=$\frac{16}{27}$，即B₃（$\frac{16}{27}$，0），
…，
即有a₁=2，a₂=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{8}{9}$，…，a_n=2•（$\frac{2}{3}$）^n-1；
（2）|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|
=（$\frac{4}{3}$）³+（$\frac{8}{9}$）³+（$\frac{16}{27}$）³+…+8•（$\frac{2}{3}$）³ⁿ
=$\frac{\frac{64}{27}（1-\frac{{8}^{n}}{2{7}^{n}}）}{1-\frac{8}{27}}$=$\frac{64}{19}$[1-（$\frac{8}{27}$）ⁿ]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，注意運(yùn)用歸納法和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．