Question

11．如圖，過曲線C：y=x³（x≥0）上點A₁（2，8）作C的切線交x軸于點B₁，過點B₁作x軸的垂線交曲線C與點A₂，過點A₂作C的切線交x軸于點B₂，再過點B₂作x軸的垂線交曲線C與點A₃，過點A₃作C的切線交x軸于點B₃，…、以此類推，得到一系列點：A₁，B₁，A₂，B₂，A₃，B₃，…記點A_n的橫坐標為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，可得切線的方程，求得與x軸的交點，可得B₁（$\frac{4}{3}$，0），A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），B₂（$\frac{8}{9}$，0），A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），B₃（$\frac{16}{27}$，0），即可得到a₁，a₂，a₃，…，由等比數(shù)列的通項公式可得通項；
（2）運用兩點的距離公式求得線段的長度，再由等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）y=x³（x≥0）的導數(shù)為y′=3x²，
在點A₁（2，8）處的切線斜率為3×4=12，
即有點A₁（2，8）處的切線方程為y-8=12（x-2），
令y=0，可得x=$\frac{4}{3}$，即B₁（$\frac{4}{3}$，0），
由題意可得A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），
在點A₂處的切線斜率為3×$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{3}$，
即有點A₂處的切線方程為y-$\frac{64}{27}$=$\frac{16}{3}$（x-$\frac{4}{3}$），
令y=0，可得x=$\frac{8}{9}$，即B₂（$\frac{8}{9}$，0），
由題意可得A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），
在點A₃處的切線斜率為3×$\frac{64}{81}$=$\frac{64}{27}$，
即有點A₃處的切線方程為y-$\frac{512}{729}$=$\frac{64}{27}$（x-$\frac{8}{9}$），
令y=0，可得x=$\frac{16}{27}$，即B₃（$\frac{16}{27}$，0），
…，
即有a₁=2，a₂=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{8}{9}$，…，a_n=2•（$\frac{2}{3}$）^n-1；
（2）|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|
=（$\frac{4}{3}$）³+（$\frac{8}{9}$）³+（$\frac{16}{27}$）³+…+8•（$\frac{2}{3}$）³ⁿ
=$\frac{\frac{64}{27}（1-\frac{{8}^{n}}{2{7}^{n}}）}{1-\frac{8}{27}}$=$\frac{64}{19}$[1-（$\frac{8}{27}$）ⁿ]．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和，注意運用歸納法和等比數(shù)列的通項公式及求和公式，同時考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．