Question

8．求滿足下列條件的橢圓方程：
（1）長軸在x軸上，長軸長等于12，離心率等于$\frac{2}{3}$；
（2）橢圓經(jīng)過點（-6，0）和（0，8）；
（3）橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m，n＞0），由題意代入點（-6，0）和（0，8），解方程即可得到橢圓方程；
（3）討論橢圓的焦點的位置，由題意可得a-c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c的關(guān)系解得b，即可得到橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得，2a=12，e=$\frac{2}{3}$，
即有a=6，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，即有c=4，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{5}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m，n＞0），
由題意代入點（-6，0）和（0，8），可得
36m+0=1，且0+64n=1，
解得m=$\frac{1}{36}$，n=$\frac{1}{64}$，
即有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{36}$=1；
（3）當焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a-c=4，a+c=10，
解得a=7，c=3，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1；
同理，當焦點在y軸上時，可得橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1或$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的方程的正確設(shè)法，以及橢圓性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題．