Question

3．已知實數(shù)a，b滿足2a²-5lna-b=0，c∈R，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分別設y=f（x）=2x²-5lnx（x＞0），y=-x，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$表示曲線上y=f（x）的點到直線y=-x的距離，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值表示為和直線y=-x平行的曲線的切線的之間的距離，求出曲線的切線方程，根據(jù)平行線間的距離公式即可求出答案．

解答 解：分別設y=f（x）=2x²-5lnx（x＞0），y=-x，
則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$表示曲線上y=f（x）的點到直線y=-x的距離，
則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值表示為和直線y=-x平行的曲線的切線的之間的距離，
∵f′（x）=2x²-5lnx，
∴f′（x）=4x-$\frac{5}{x}$，
∴f′（a）=4a-$\frac{5}{a}$=-1，解得a=1，
∴f（1）=2=b，
∴曲線過點（1，2）的切線方程為y-2=-（x-1），即x+y-3=0，
∴直線x+y-3=0與直線y+x=0的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義和平行線之間的距離公式，關鍵是構造曲線和直線，屬于中檔題．