Question

12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，且$\sqrt{3}$bcosC+$\sqrt{3}$ccosB=2csinA．
（1）試求∠C的大�。�
（2）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)sinA不為0，求出sinC的值，即可確定出銳角C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入，利用基本不等式求出ab的范圍，再利用面積公式即可求出S的范圍．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCcosB=2sinAsinC，
即$\sqrt{3}$sin（B+C）=2sinAsinC，
變形得：$\sqrt{3}$sinA=2sinAsinC，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴則銳角C=60°．
（2）∵C=60°，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a等于b時(shí)等號(hào)成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面積S的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．