Question

11．橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$上有一點(diǎn)P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，且|PF₁||PF₂|=40，則△PF₁F₂的面積為8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，可得a=7，b²=24，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=5．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．由余弦定理可得10²=m²+n²-2mncosθ，解得cosθ，進(jìn)而得出面積．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，可得a=7，b²=24，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=5．
∵|PF₁||PF₂|=40，|PF₁|+|PF₂|=14，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．（θ∈（0，π））．
由余弦定理可得10²=m²+n²-2mncosθ=（m+n）²-2mn-2mncosθ=14²-80（1+cosθ），
解得cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}mnsinθ$=$\frac{1}{2}×40×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=8$\sqrt{6}$，
故答案為：8$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．