Question

16．以下三個命題：
①函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域為[1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]
②函數(shù)f（x）=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$的周期為π
③函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象和函數(shù)g（x）=2-2cos3x的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{8}$，1）對稱
其中正確的是①③．

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域，可判斷①；求出函數(shù)f（x）=$\frac{2co{s}^{2}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$的周期，可判斷②；求出函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{8}$，1）對稱的函數(shù)圖象的解析式，可判斷③．

解答 解：①函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=（sinx+cosx）²=sin2x+1，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x+1∈[1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]，故①正確；
②函數(shù)f（x）=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$=2cos²x-1=cos2x，（x≠2kπ，k∈Z）的周期為2π，故②錯誤；
③函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{8}$，1）對稱的函數(shù)圖象的解析式為：g（x）=2-f（$\frac{π}{4}$-x）=2-2sin[3（$\frac{π}{4}$-x）-$\frac{π}{4}$）]=2-2sin（$\frac{π}{2}$-3x）=2-2cos3x，故③正確；
故正確的命題的序號為：①③，
故答案為：①③

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．