Question

11．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀成立．則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)或稱（x₀．f（x））為函數(shù)y=f（x）圖象的不動(dòng)點(diǎn)；有下列說(shuō)法：
①函數(shù)f（x）=2x²-x-4的不動(dòng)點(diǎn)是-1和2；
②若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2．（a≠0）恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是  0＜a≤2；
③函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若y=f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則函數(shù)y=f（f（x））也沒有不動(dòng)點(diǎn)；
④設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{4}{5}$（x-1），若f（f（f（x）））為正整數(shù)，則x的最小值是121；
以上說(shuō)法正確的是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：令2x²-x-4=x，解得x=-1，或x=2，故①函數(shù)f（x）=2x²-x-4的不動(dòng)點(diǎn)是-1和2，故①正確；
若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2．（a≠0）恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn)，
則ax²+（b+1）x+b-2=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△=b²-4a（b-2）=b²-4ab+8a＞0恒成立，
則16a²-32a＜0，解得0＜a＜2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜2，故②錯(cuò)誤；
③函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若y=f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則ax²+（b-1）x+c=0無(wú)實(shí)根，則函數(shù)y=f（f（x））也沒有不動(dòng)點(diǎn)；
④設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{4}{5}$（x-1），若f（f（f（x）））=$\frac{4}{5}${$\frac{4}{5}$[$\frac{4}{5}$（x-1）-1]-1}=$\frac{64x-244}{125}$為正整數(shù)，
則x的最小值是121，故④正確；
故正確的命題的序號(hào)為：①③④，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．