Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求證：D₁C∥平面A₁BD．
（2）求異面直線A₁D與D₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）先根據A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，得到A₁D₁CB為平行四邊形⇒A₁B∥CD₁，即可得到結論；
（2）利用線面、面面平行的判定定理得到∠BA₁D是異面直線A₁D與D₁C所成的角．

解答 （1）證明：因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC；B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，
所以四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．
則A₁B∥CD₁．
又A₁B?平面ABD₁，CD₁?面ABD₁，
所以D₁C∥平面A₁BD．
（2）解：因為A₁D₁=BC且A₁D₁∥BC，
所以A₁BCD₁是平行四邊形，
則D₁C∥A₁B，
所以∠BA₁D是異面直線A₁D與D₁C所成的角，
因為A₁D=D₁C=BD，所以∠BA₁D=60°．

點評 本題主要考查線面所成的角，線面平行以及面面垂直．是對立體幾何知識的綜合考查，屬于綜合題目．