Question

8．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃=5，a₅=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
（1）由題意可得a₁+2d=5，a₁+4d=9；從而求通項(xiàng)公式即可；
（2）化簡(jiǎn)$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，從而利用裂項(xiàng)求和法求前n項(xiàng)和公式即可．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
（1）由a₃=5，a₅=9得：
a₁+2d=5，a₁+4d=9；
解得a₁=1，d=2；
∴a_n=2n-1；
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．