Question

3．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（1，$\frac{π}{2}$），曲線C的方程為ρsin²θ=cosθ．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）斜率為-1的直線l過(guò)點(diǎn)M，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （I）點(diǎn)M（1，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得：點(diǎn)M的直角坐標(biāo)，曲線C的方程為ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ．
利用互化公式可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（ II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：t²+3$\sqrt{2}$t+2=0，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：|MA|•|MB|=|t₁•t₂|．

解答 （I）解：點(diǎn)M（1，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得：點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，1），
曲線C的方程為ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ．
利用互化公式可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=x．
（ II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：t²+3$\sqrt{2}$t+2=0，△=$（3\sqrt{2}）^{2}-4×2$=10＞0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=2，
由t的幾何意義得：|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．