Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）設(shè)a＞-1，且當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．設(shè)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a-2對x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]都成立，分析可得-$\frac{a}{2}$≥a-2，由此解得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
設(shè)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，則 y=$\left\{\begin{array}{l}{-5x\\，x＜\frac{1}{2}}\\{-x-2\\，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x-6\\，x＞1}\end{array}\right.$，它的圖象如圖所示：
結(jié)合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．
（Ⅱ）設(shè)a＞-1，且當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=1+a，不等式化為 1+a≤x+3，
故 x≥a-2對x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]都成立．
故-$\frac{a}{2}$≥a-2，
解得 a≤$\frac{4}{3}$，
故a的取值范圍為（-1，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法與絕對值不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用零點分段討論法分析函數(shù)的解析式．