Question

1．如圖，已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上下焦點，過F₂點作以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓的切線，P為切點，若切線段PF₂被一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 連接PF₁，設(shè)PF₂的中點為M，由相切可得PF₁⊥PF₂，運用勾股定理可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，運用中位線定理可得P到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，由點到直線的距離公式和雙曲線的離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：連接PF₁，設(shè)PF₂的中點為M，
由題意可得PF₁⊥PF₂，
|PF₁|=c，|F₁F₂|=2c，
可得|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
即有P到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由OM為中位線可得，
可得F₁（0，-c）到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由雙曲線的漸近線方程y=$\frac{a}$x，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
化為3c²=4b²，
又b²=c²-a²，
可得c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相切的條件和中位線定理、勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．