Question

4．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD=$\sqrt{5}$．
（1）求證：BC⊥AF；
（2）求證：AF∥平面DCE；
（3）若二面角E-BC-A的大小為120°，求直線DF與平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）由BC⊥BF，BC⊥AB得出BC⊥平面ABF，故BC⊥AF；
（2）由AB∥CD，BF∥CE得平面ABF∥平面CDE，于是AF∥平面CDE；
（3）過(guò)F作FN與AB的延長(zhǎng)線垂直，N是垂足，連結(jié)DN．則可證明FN⊥平面ABCD，于是∠FDN為所求角，利用勾股定理求出FN，DN計(jì)算tan∠FDN即可得出∠FDN的大小．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB⊥BC，
又∵BF⊥BC，AB，BF?平面ABF，AB∩BF=B，
∴BC⊥平面ABF．∵AF?平面ABF，
∴BC⊥AF．
（2）∵BF∥CE，BF?平面CDE，CE?平面CDE，
∴BF∥平面CDE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE，
又AB，BF?平面ABF，AB∩BF=B，
∴平面ABF∥平面CDE，∵AF?平面ABF，
∴AF∥平面DCE．
（3）過(guò)F作FN與AB的延長(zhǎng)線垂直，N是垂足，連結(jié)DN．
∵BC⊥AB，BC⊥BF，
∴∠ABF就是二面角E-BC-A的平面角，
∴∠ABF=120°，∠FBN=60°．
∴BN=$\frac{1}{2}$BF=1，F(xiàn)N=$\sqrt{3}$，
∵AB=1，AD=$\sqrt{5}$，∠BAD=90°，∴DN=$\sqrt{A{D}^{2}+A{N}^{2}}$=3．
∵BC⊥平面ABF，BC?平面ABCD，
∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，F(xiàn)N⊥AB，
∴FN⊥平面ABCD，
∴∠FDN是直線DF與平面ABCD所成的角，
∴tan∠FDN=$\frac{FN}{DN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠FDN=30°．
∴直線DF與平面ABCD所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直，線面平行的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．