Question

4．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（1，1），（x，y）=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，若0≤λ≤1≤μ≤2時(shí)，z=$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$（m＞0，n＞0）的最大值為2，則m+n的最小值為$\frac{5}{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），從而可得x=λ+μ，y=μ；從而可得$\frac{3}{2m}$+$\frac{1}{n}$=1；再化簡(jiǎn)（m+n）（$\frac{3}{2m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$+1+$\frac{3n}{2m}$+$\frac{m}{n}$，從而利用基本不等式求最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（1，1），
∴（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），
∴x=λ+μ，y=μ；
z=$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=$\frac{λ+μ}{m}$+$\frac{μ}{n}$，
∵0≤λ≤1≤μ≤2，z=$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$（m＞0，n＞0）的最大值為2，
∴$\frac{1+2}{m}$+$\frac{2}{n}$=2，即$\frac{3}{2m}$+$\frac{1}{n}$=1；
故（m+n）（$\frac{3}{2m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$+1+$\frac{3n}{2m}$+$\frac{m}{n}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{6}$；
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3n}{2m}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，等號(hào)成立）．
故答案為：$\frac{5}{2}$+$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．