Question

15．已知實數(shù)x，y滿足：x²+2$\sqrt{3}$xy-y²=1，則x²+y²的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由2$\sqrt{3}$xy=y²+1-x²，兩邊平方，設(shè)x²+y²=m，則y²=m-x²，代入可得16x⁴-4（1+4m）x²+（1+m）²=0，再設(shè)x²=t，得到16t²-4（1+4m）t+（1+m）²=0，利用△≥0，解出即可．

解答 解：設(shè)x²+y²=m，則y²=m-x²，
∵x²+2$\sqrt{3}$xy-y²=1，
∴2$\sqrt{3}$xy=y²+1-x²，
∴12x²y²=（y²+1-x²）²，
∴12x²（m-x²）=（m+1-2x²）²，
∴16x⁴-4（1+4m）x²+（1+m）²=0，
設(shè)x²=t，
∴16t²-4（1+4m）t+（1+m）²=0
∴△=16（1+4m）²-4×16（m+1）²≥0，解得m≥$\frac{1}{2}$
∴x²+y²的最小值是$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，屬于中檔題