Question

20．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1．
（1）求證BD₁⊥AC；
（2）求直線A₁B與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，以DC直線為Y軸，以DA直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即可證明BD₁⊥AC；
（2）求出$\overrightarrow{AC}$是平面BB₁D₁D的法向量，利用$\overrightarrow{{A}_{1}B}$與$\overrightarrow{AC}$所成角θ的余弦值的絕對值等于直線A₁B與平面BB₁D₁D所成角的正弦值求直線A₁B與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：（1）如圖，以D為原點，以DC直線為Y軸，以DA直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1）…（2分）
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），…（3分）
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=4-4=0，…（4分）
∴BD₁⊥AC…（5分）
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=4-4=0，
∴BD⊥AC，…（7分）
∵BD∩BD₁=B，
∴$\overrightarrow{AC}$是平面BB₁D₁D的法向量…（8分）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$與$\overrightarrow{AC}$所成角θ的余弦值的絕對值等于直線A₁B與平面BB₁D₁D所成角的正弦值，
∵cosθ=$\frac{-4}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．…（9分）
∴直線A₁B與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．…（10分）

點評 此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系這一利用向量方法解決了抽象的立體幾何問題．