Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）求直線BM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形得出PE⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)可證明．
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用平面的法向量與$\overrightarrow{BM}$的夾角求解即可，sinθ=cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BM}$＞，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解．

解答 解：（1）∵PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
（2）以E為原點(diǎn)、EA、EB、EP分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{EP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{BM}$|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
設(shè)直線BM與平面ABCD所成角為θ，
sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面關(guān)系及面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題