Question

8．已知圓C過原點，圓心在射線y=2x（x＞0）上，半徑為$\sqrt{5}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若M為直線m：x+2y+5=0上的一動點，N為圓C上的動點，求|MN|的最小值以及|MN|取最小值時M點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²．通過$\left\{{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a^2}+{b^2}=5}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，計算即可；
（2）通過圖象可知線段MN的延長線經(jīng)過圓C的圓心，且與直線m垂直時|MN|的最小，聯(lián)立直線MN、m的方程，利用點到直線的距離公式計算即可．

解答 解：（1）設(shè)圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²．
由題意知：$\left\{{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a^2}+{b^2}=5}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，
解得a=1，b=2．
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y-2）²=5．
（2）由圖象可知線段MN的延長線經(jīng)過圓C的圓心，且與直線m垂直時|MN|的最小，
∴直線MN：y-2=2（x-1），
∵MN∩m=M，
∴聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y+5=0}\\{2x-y=0}\end{array}}\right.$，得M（-1，-2），
設(shè)圓心C到直線m的距離為d，則d=$\frac{|1+4+5|}{{\sqrt{5}}}$=$2\sqrt{5}$，
∴|MN|的最小值為d-r=$\sqrt{5}$．
∴|MN|的最小值為$\sqrt{5}$，此時M的坐標(biāo)（-1，-2）．

點評 本題是一道直線與圓的方程的綜合應(yīng)用題，涉及到點到直線的距離公式等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．