Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx（x＞-1），曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1），且在點（0，0）處的切線方程為y=0．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥x²．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)函數(shù)f'（x），f'（0）=0，將點（e-1，e²-e+1），代入f（x），聯(lián)立解得a和b的值；
（2）有（1）求得f（x）的解析式，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），求導(dǎo)利用函數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得g（x）的最小值，即g（x）≥g（0）=0，即可證明f（x）≥x²．

解答 解：（1）f'（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
∵f'（0）=a+b=0，
曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1），
∴f（e-1）=ae²+b（e-1）=a（e²-e+1）=e²-e+1，
∴a=1，b=-1．
（2）證明：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），
g'（x）=2（x+1）ln（x+1）-x，
（g'（x））'=2ln（x+1）+1＞0，
∴g'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g'（x）≥g'（0）=0，
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴f（x）≥x²．

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．