Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx的周期為$\frac{π}{2}$，其中ω＞0
（1）求ω的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式
（2）設(shè)△ABC的三邊a、b、c依次成等比數(shù)列，且函數(shù)f（x）的定義域等于b邊所對的角B的取值集合，求此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先逆用兩角差的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標準形式，然后利用周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$求ω的值，進而寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出cosB的范圍，再根據(jù)B為三角形的內(nèi)角求出B的范圍，得出f（x）的定義域，從而求出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
由T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，
所以函數(shù)f（x）的解析式為
f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
（2）因為b²=ac，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{2ac}{2ac}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當a=c時取“=”；
又B為三角形內(nèi)角，
所以0＜B≤$\frac{π}{3}$，即0＜x≤$\frac{π}{3}$，
所以-$\frac{π}{6}$＜4x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（4x-$\frac{π}{6}$）≤1，
所以-1≤sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
即函數(shù)f（x）的值域是[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了三角變換及解三角形的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是化成正弦型函數(shù)的標準形式，把求角的范圍轉(zhuǎn)化成先求角余弦值的范圍，是綜合性題目．