Question

1．已知數(shù)列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₂=10，a₄=82．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列$\left\{{{{log}_3}（{{a_n}-1}）}\right\}（{n∈{N^*}}）$的公差為d，∵a₂=10，a₄=82，
∴$d=\frac{{{{log}_3}（{82-1}）-{{log}_3}（{10-1}）}}{4-2}=1；∴{log_3}（{{a_n}-1}）=2+（{n-2}）×1=n$，
即${a_n}={3^n}+1$．
（2）由（1）知，${a_n}={3^n}+1$，∴${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{{{3^{n+1}}-{3^n}}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3^n}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項的和為$\frac{1}{{{a_2}-{a_1}}}+\frac{1}{{{a_3}-{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}}）=\frac{1}{2}×\frac{{\frac{1}{3}-\frac{1}{3^n}×\frac{1}{3}}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{{4×{3^n}}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的求和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．