Question

15．設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)，即可得出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）利用分類討論的思想，若為偶函數(shù)求出a的值，若為奇函數(shù)，求出a的值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$，
∵a≥0，y=$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$在R上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=f（-x）對(duì)任意x均成立，
∴$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=$\frac{{2}^{-x}-a}{{2}^{-x}+a}$，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒為0，
∴a=0，此時(shí)f（x）=1，x∈R，滿足條件；
若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=-f（-x）對(duì)任意x均成立，
∴$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$=-$\frac{{2}^{-x}-a}{{2}^{-x}+a}$，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此時(shí)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，x≠0，滿足條件；
綜上所述，a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，a=1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，利用了分類討論的思想，屬于中檔題．