Question

7．如圖已知四邊形ABCD是菱形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PB=PD=AB，M是PC的中點(diǎn)，
（1）求證：PA∥平面BDM
（2）求證：平面BDM⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，則OM∥PA，由此能證明PA∥平面BDM．
（2）推導(dǎo)出AC⊥BD，PO⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面BDM⊥平面PAC．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴OM∥PA，
∵OM?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中點(diǎn)，
連結(jié)OP，∵PB=PD，∴PO⊥BD，
∵PO∩AC=0，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面PAC．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．