Question

已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a≠0），命題q：實(shí)數(shù)x滿足

x-3

x-2

≤0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）求出命題p的等價條件，利用p是q的必要不充分條件，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，不等式為x²-4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
若

x-3

x-2

≤0，則2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即

1＜x＜3 2＜x≤3

，解得2＜x＜3，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3；
（2）∵x²-4ax+3a²＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，則不等式的解為a＜x＜3a，
若a＜0，則不等式的解為3a＜x＜a，
∵q：2＜x≤3，
∴若p是q的必要不充分條件，
則a＞0，且

a≤2 3a＞3

，
即1＜a≤2，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，以及不等式的求解，利用不等式的解法時解決本題的關(guān)鍵．