Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，且D，E分別是棱A₁B₁，A₁A₁的中點，點F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）求證：EF∥平面BDC₁；
（2）求三棱錐D-BEC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點O，連接A₁O，利用中位線定理得EF∥A₁O，由四邊形A₁DBO為平行四邊形得出A${\;}_{{\;}_{1}}$O∥BD，故而EF∥BD，于是EF∥平面BDC₁；
（2）證明C₁D⊥平面AA₁B₁B，于是V${\;}_{D-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•{C}_{1}D$．

解答 解：（1）取AB的中點O，連接A₁O，
∵AF=$\frac{1}{4}$AB，
∴F為AO的中點，又E為AA₁的中點，
∴EF∥A₁O，
∵A₁D=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}$，BO=$\frac{1}{2}AB$，AB$\stackrel{∥}{=}$A₁B₁，
∴A₁D$\stackrel{∥}{=}BO$
∴四邊形A₁DBO為平行四邊形，
∴A₁O∥BD，
∴EF∥BD，又EF?平面BDC₁，BD?平面BDC₁，
∴EF∥平面BDC₁．
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D，
∵A₁C₁=B₁C₁=A₁B₁=2，D為A₁B₁的中點，
∴C₁D⊥A₁B₁，C₁D=$\sqrt{3}$，
又AA₁?平面AA₁B${\;}_{{\;}_{1}}$B，A₁B₁?平面AA₁B${\;}_{{\;}_{1}}$B，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥平面AA₁B₁B，
∵AB=AA₁=2，D，E分別為A₁B₁，AA₁的中點，
∴S_△BDE=2²-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{3}{2}$．
∴V${\;}_{D-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•{C}_{1}D$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．